Observaciones sobre los problemas de matrices

Otra vez de vuelta, quería ir dándoos las soluciones de los problemas de matrices que os recomendé trabajar (29-33,36 de la relación de problemas del curso), pero estoy teniendo problemas para colgar el fichero. Entonces os voy a hacer recomendaciones sobre ellos y ya mañana lo volveré a intentar.

En el problema 29, resolución de un sistema matricial, se trata de despejar las incógnitas (las matrices X e Y ) como en un sistema de ecuaciones normal, y cuando estén totalmente despejadas, operar con las matrices A y B para obtener el resultado.

En el problema 30, coged una matriz cuadrada genérica B de orden 2, imponed que se cumpla la propiedad conmutativa del producto con la matriz A dada (A.B = B.A), operad y llegaréis a la igualdad de dos matrices. Como dos matrices son iguales cuando lo son los términos que ocupan la misma posición, llegaréis a un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y ya sólo queda resolverlo.

El problema 31 es muy parecido al anterior. Se hace igual, pero imponiendo en el primer apartado que el producto sea igual a la matriz cero, y en el segundo apartado, además, que se cumpla la propiedad conmutativa del producto.

El ejercicio 32 es para recordar el cálculo de inversas de matrices. Recordad que para que exista la inversa de una matriz es necesario que la matriz sea cuadrada y que su determinante sea distinto de cero. Usad la fórmula de la matriz inversa (no lo hagáis por Gauss, ni resolviendo un sistema de ecuaciones, la “cuenta de la vieja”). Recordad los pasos que tenéis que seguir:
- Calcular el determinante (y si sale cero no existe la inversa, se ha acabado el problema)
- Calcular la traspuesta de la matriz (cambiar las filas por las columnas)
- Buscar los menores de cada elemento (el menor de un elemento es el determinante de la matriz que queda después de haber suprimido la fila y la columna que contienen a dicho elemento)
- Cambiar el signo a los menores que ocupan posiciones impares (al sumar sus posiciones de fila y columna).
Con estos dos últimos pasos hemos calculado la matriz adjunta.
- Y por último dividir la matriz resultante entre el determinante (por eso necesitamos que sea distinto de cero).

En el ejercicio 33 se trata de despejar la matriz X de cada una de las ecuaciones, y cuando está totalmente despejada, operar con las matrices A y B. Este problema es muy sencillo, entonces no os voy a dar las soluciones y os propongo que, voluntariamente, lo haga alguno de vosotros. Si algún otro no está de acuerdo, que lo diga.

Por último, en el ejercicio 36, también tenéis que despejar totalmente X en las ecuaciones (sin sustituir por una matriz con letras). Para el despeje tenéis que usar la filosofía que funciona en toda resolución de ecuaciones: una igualdad se mantiene siempre que hagamos lo mismo exactamente en los dos lados de la igualdad. Esto es importante sobre todo si no olvidáis que el producto de matrices en general no cumple la propiedad conmutativa. Por lo tanto, si una matriz está en un determinado lugar respecto a otra, cuando saquéis factor común, siempre tiene que estar situada en esa misma posición relativa con respecto a la otra, y si multiplicáis en una posición en un lado de la igualdad, tenéis que multiplicar en el otro lado en esa misma posición relativa. En este problema, además de la solución os doy el cálculo de las matrices inversas intermedias, por si no os salen bien los resultados, que detectéis mejor los errores.

Si alguno de vosotros no entiende bien lo que os intento explicar, tenéis dudas o no os ha salido alguna de mis soluciones, por favor, que lo diga en los comentarios (también me puedo equivocar).

Para los próximos días vamos a seguir con determinantes. Empezad repasando un poco la teoría, que yo os iré recordando lo más importante, e id trabajando los problemas 34, 35 y 37.