Como parece que no os animáis a contestar lo que os propuse ayer, os voy a echar una manita, dándoos unas indicaciones para esos problemas:
En el ejercicio 1 hay que demostrar las cuatro propiedades que dotan a un conjunto, en este caso R2, con una ley de composición interna, la definida en el enunciado del problema, de la estructura de grupo conmutativo: la asociativa, el elemento neutro, el elemento simétrico y la conmutativa.
Escribid la igualdad que hay que hay que demostrar, partid del miembro de la izquierda de la igualdad (salida), operad según las instrucciones del enunciado (las reglas de ese ejercicio), hasta que no se pueda seguir porque sólo quede un elemento del conjunto. Empezad ahora por el miembro de la derecha de la igualdad a demostrar, seguid el mismo proceso y cuando no podáis seguir (otra vez queda un único elemento del conjunto) comparad el resultado con lo obtenido anteriormente. Si término a término sale lo mismo, está demostrado; si hay alguna diferencia en alguno, no se cumple. Así con cada una de las propiedades. (No se cumple ninguna de las 4 propiedades)
El ejercicio 3 es similar, pero cambiando el conjunto (ahora es el conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2) y la definición de ley interna (sólo se cumple la conmutativa).
El ejercicio 2 también es en R2, pero ahora se define una ley de composición externa, y se trata de demostrar las propiedades correspondientes a esta ley: distributiva con respecto a la suma de pares, distributiva con respecto a la suma de escalares, “asociativa”, y neutro (se cumplen las dos primeras).
En el ejercicio 4, el conjunto es el de los números complejos, y se definen dos leyes de composición interna: la suma de complejos (que es otro complejo) y el producto de complejos (que también es otro complejo). Para demostrar que tiene la estructura de cuerpo conmutativo hay que demostrar con cada ley las propiedades de grupo conmutativo (como los ejercicio 1 y 3) y con ambas la distributiva del producto con respecto a la suma (en total 9 propiedades).
En el ejercicio 5 volvemos a trabajar con pares de número reales, R2, la ley interna es la suma habitual de pares y la ley externa es un “producto extraño” (no el habitual) de pares por escalares. Se trata de demostrar las 4 propiedades de grupo conmutativo con la suma (se cumplen todas) y las cuatro de la ley externa con ese producto extraño (sólo se cumple la segunda).
En el ejercicio 17 se trata de ver cuáles de esos conjuntos son subespacios vectoriales. El proceso de la demostración es muy parecido a todo lo anterior. Se puede hacer verificando dos propiedades (que la suma de dos elementos de ese conjunto sigue perteneciendo a ese conjunto, o lo que es lo mismo, satisface las condiciones que caracterizan dicho conjunto y que el producto de un elemento de ese conjunto por un escalar, también pertenece a dicho conjunto) o una que engloba las dos (que cualquier combinación lineal de dos elementos cualesquiera del conjunto a su vez está en el conjunto).
En el ejercicio 23 y los posteriores que piden demostrar linealidad, también se puede hacer con dos propiedades o una que engloba las dos (mirad en la teoría la definición y también tenéis un problema resuelto). Nuevamente el proceso es similar a lo anterior.
Todo lo que vayáis trabajando, id guardándolo para traerlo a las clases presenciales de agosto (los que podáis venir) que lo corregiremos.
jueves, 31 de julio de 2008
miércoles, 30 de julio de 2008
Álgebra
Hoy os voy a proponer intentar hacer demostraciones de álgebra, de las propiedades de la definición de espacio vectorial, de la definición de subespacio vectorial y de la definición de linealidad de aplicaciones, que se basan en lo mismo y se desarrollan de manera análoga. Lo vamos a plantear como un juego en el que partimos de una salida, tenemos que seguir un camino y llegar a la meta ,lo que queremos demostrar. Se nos proporcionan unas instrucciones, unas reglas del juego, que habitualmente van a ser las definiciones de ley interna, de ley externa (en el caso de demostración de espacio vectorial) y la definición de aplicación (en el caso de la linealidad) y que habrá que aplicarlas cuando sea oportuno.
Repasad la definición de espacio vectorial: un conjunto donde hay definida una ley de composición interna con la que se cumplen 4 propiedades y una ley de composición externa con un cuerpo, con la que se cumplen otras 4 propiedades. Os propongo que vayáis poniendo en los comentarios, para recordar al resto de compañeros, diferencias entre composición interna y externa, y cúales son las 8 propiedades de espacio vectorial, describiéndolas un poco (porque no os va a dejar escribirlas como fórmulas).
Repasad también la definición de subespacio vectorial y de aplicación lineal y también describirlas en los comentarios. Se me ocurre que, para que pueda participar más gente, cada uno hable sólo de una propiedad diciendo a qué corresponde, hasta completar todo lo propuesto.
Repasad la definición de espacio vectorial: un conjunto donde hay definida una ley de composición interna con la que se cumplen 4 propiedades y una ley de composición externa con un cuerpo, con la que se cumplen otras 4 propiedades. Os propongo que vayáis poniendo en los comentarios, para recordar al resto de compañeros, diferencias entre composición interna y externa, y cúales son las 8 propiedades de espacio vectorial, describiéndolas un poco (porque no os va a dejar escribirlas como fórmulas).
Repasad también la definición de subespacio vectorial y de aplicación lineal y también describirlas en los comentarios. Se me ocurre que, para que pueda participar más gente, cada uno hable sólo de una propiedad diciendo a qué corresponde, hasta completar todo lo propuesto.
martes, 29 de julio de 2008
Soluciones cálculo de derivadas
Hoy os adjunto las soluciones de la hoja de cálculo de derivadas. Como os habréis dado cuenta están agrupadas por bloques: derivadas de potencias de x, productos de funciones, cocientes, composiciones,...., aumentado cada vez más el grado de dificultad.
Seguid trabajando esto y simplificad al máximo las soluciones para que comprobéis si lo tenéis bien o mal (las soluciones que yo os doy están simplificadas). Muchas veces os cuesta más la simplificación que la propia derivada, pero se trata de llegar a la solución depurada.
Hoy además os pediría que, los que hagáis un seguimiento del blog, simplemente me lo hagáis saber en los comentarios, así como si estáis teniendo dificultades en su utilización.
Seguid trabajando esto y simplificad al máximo las soluciones para que comprobéis si lo tenéis bien o mal (las soluciones que yo os doy están simplificadas). Muchas veces os cuesta más la simplificación que la propia derivada, pero se trata de llegar a la solución depurada.
Hoy además os pediría que, los que hagáis un seguimiento del blog, simplemente me lo hagáis saber en los comentarios, así como si estáis teniendo dificultades en su utilización.
lunes, 28 de julio de 2008
Cálculo de derivadas
Vamos a continuar repasando cosas básicas y fundamentales que se necesitan para el desarrollo de la asignatura. Ahora nos vamos a centrar en la derivación. Os adjunto las propiedades fundamentales y una tabla de derivadas.
Después de repasarlas, id haciendo los problemas de cálculo de derivadas (adjunto también la relación para los que no la tengan). Más adelante os colgaré las soluciones. Os recuerdo que si tenéis dudas, las vayáis exponiendo en los comentarios del blog.
Después de repasarlas, id haciendo los problemas de cálculo de derivadas (adjunto también la relación para los que no la tengan). Más adelante os colgaré las soluciones. Os recuerdo que si tenéis dudas, las vayáis exponiendo en los comentarios del blog.
sábado, 26 de julio de 2008
Soluciones de problemas de determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Para los problemas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales tenéis que recordar un teorema fundamental, el teorema de Rouché-Froebenius, que dice cuándo los sistemas son incompatibles (no tienen solución) y cuándo son compatibles (tienen solución) y en este último caso nos dice el número de soluciones: una (sistema compatible determinado) o infinitas (sistema compatible indeterminado). Como recordaréis, se basa en el estudio de los rangos de la matriz asociada al sistema y de la matriz ampliada.
Otros resultados importantes a recordar del tema de sistemas de ecuaciones lineales son el método de Cramer de resolución de sistemas de Cramer y el método de la matriz inversa. Id repasando la teoría y si tenéis algún problema, decidlo.
Os cuelgo el resto de soluciones de los problemas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
Otros resultados importantes a recordar del tema de sistemas de ecuaciones lineales son el método de Cramer de resolución de sistemas de Cramer y el método de la matriz inversa. Id repasando la teoría y si tenéis algún problema, decidlo.
Os cuelgo el resto de soluciones de los problemas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
viernes, 25 de julio de 2008
Relación de problemas de Álgebra
Como alguno de vosotros me lo habéis pedido, os cuelgo la relación de problemas de Álgebra. El resto os lo iré colgando poco a poco por unidades.
jueves, 24 de julio de 2008
Soluciones de los problemas de matrices
Aquí tenéis las soluciones de los problemas que os dije ayer.
Observaciones sobre los problemas de matrices
Otra vez de vuelta, quería ir dándoos las soluciones de los problemas de matrices que os recomendé trabajar (29-33,36 de la relación de problemas del curso), pero estoy teniendo problemas para colgar el fichero. Entonces os voy a hacer recomendaciones sobre ellos y ya mañana lo volveré a intentar.
En el problema 29, resolución de un sistema matricial, se trata de despejar las incógnitas (las matrices X e Y ) como en un sistema de ecuaciones normal, y cuando estén totalmente despejadas, operar con las matrices A y B para obtener el resultado.
En el problema 30, coged una matriz cuadrada genérica B de orden 2, imponed que se cumpla la propiedad conmutativa del producto con la matriz A dada (A.B = B.A), operad y llegaréis a la igualdad de dos matrices. Como dos matrices son iguales cuando lo son los términos que ocupan la misma posición, llegaréis a un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y ya sólo queda resolverlo.
El problema 31 es muy parecido al anterior. Se hace igual, pero imponiendo en el primer apartado que el producto sea igual a la matriz cero, y en el segundo apartado, además, que se cumpla la propiedad conmutativa del producto.
El ejercicio 32 es para recordar el cálculo de inversas de matrices. Recordad que para que exista la inversa de una matriz es necesario que la matriz sea cuadrada y que su determinante sea distinto de cero. Usad la fórmula de la matriz inversa (no lo hagáis por Gauss, ni resolviendo un sistema de ecuaciones, la “cuenta de la vieja”). Recordad los pasos que tenéis que seguir:
- Calcular el determinante (y si sale cero no existe la inversa, se ha acabado el problema)
- Calcular la traspuesta de la matriz (cambiar las filas por las columnas)
- Buscar los menores de cada elemento (el menor de un elemento es el determinante de la matriz que queda después de haber suprimido la fila y la columna que contienen a dicho elemento)
- Cambiar el signo a los menores que ocupan posiciones impares (al sumar sus posiciones de fila y columna).
Con estos dos últimos pasos hemos calculado la matriz adjunta.
- Y por último dividir la matriz resultante entre el determinante (por eso necesitamos que sea distinto de cero).
En el ejercicio 33 se trata de despejar la matriz X de cada una de las ecuaciones, y cuando está totalmente despejada, operar con las matrices A y B. Este problema es muy sencillo, entonces no os voy a dar las soluciones y os propongo que, voluntariamente, lo haga alguno de vosotros. Si algún otro no está de acuerdo, que lo diga.
Por último, en el ejercicio 36, también tenéis que despejar totalmente X en las ecuaciones (sin sustituir por una matriz con letras). Para el despeje tenéis que usar la filosofía que funciona en toda resolución de ecuaciones: una igualdad se mantiene siempre que hagamos lo mismo exactamente en los dos lados de la igualdad. Esto es importante sobre todo si no olvidáis que el producto de matrices en general no cumple la propiedad conmutativa. Por lo tanto, si una matriz está en un determinado lugar respecto a otra, cuando saquéis factor común, siempre tiene que estar situada en esa misma posición relativa con respecto a la otra, y si multiplicáis en una posición en un lado de la igualdad, tenéis que multiplicar en el otro lado en esa misma posición relativa. En este problema, además de la solución os doy el cálculo de las matrices inversas intermedias, por si no os salen bien los resultados, que detectéis mejor los errores.
Si alguno de vosotros no entiende bien lo que os intento explicar, tenéis dudas o no os ha salido alguna de mis soluciones, por favor, que lo diga en los comentarios (también me puedo equivocar).
Para los próximos días vamos a seguir con determinantes. Empezad repasando un poco la teoría, que yo os iré recordando lo más importante, e id trabajando los problemas 34, 35 y 37.
En el problema 29, resolución de un sistema matricial, se trata de despejar las incógnitas (las matrices X e Y ) como en un sistema de ecuaciones normal, y cuando estén totalmente despejadas, operar con las matrices A y B para obtener el resultado.
En el problema 30, coged una matriz cuadrada genérica B de orden 2, imponed que se cumpla la propiedad conmutativa del producto con la matriz A dada (A.B = B.A), operad y llegaréis a la igualdad de dos matrices. Como dos matrices son iguales cuando lo son los términos que ocupan la misma posición, llegaréis a un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y ya sólo queda resolverlo.
El problema 31 es muy parecido al anterior. Se hace igual, pero imponiendo en el primer apartado que el producto sea igual a la matriz cero, y en el segundo apartado, además, que se cumpla la propiedad conmutativa del producto.
El ejercicio 32 es para recordar el cálculo de inversas de matrices. Recordad que para que exista la inversa de una matriz es necesario que la matriz sea cuadrada y que su determinante sea distinto de cero. Usad la fórmula de la matriz inversa (no lo hagáis por Gauss, ni resolviendo un sistema de ecuaciones, la “cuenta de la vieja”). Recordad los pasos que tenéis que seguir:
- Calcular el determinante (y si sale cero no existe la inversa, se ha acabado el problema)
- Calcular la traspuesta de la matriz (cambiar las filas por las columnas)
- Buscar los menores de cada elemento (el menor de un elemento es el determinante de la matriz que queda después de haber suprimido la fila y la columna que contienen a dicho elemento)
- Cambiar el signo a los menores que ocupan posiciones impares (al sumar sus posiciones de fila y columna).
Con estos dos últimos pasos hemos calculado la matriz adjunta.
- Y por último dividir la matriz resultante entre el determinante (por eso necesitamos que sea distinto de cero).
En el ejercicio 33 se trata de despejar la matriz X de cada una de las ecuaciones, y cuando está totalmente despejada, operar con las matrices A y B. Este problema es muy sencillo, entonces no os voy a dar las soluciones y os propongo que, voluntariamente, lo haga alguno de vosotros. Si algún otro no está de acuerdo, que lo diga.
Por último, en el ejercicio 36, también tenéis que despejar totalmente X en las ecuaciones (sin sustituir por una matriz con letras). Para el despeje tenéis que usar la filosofía que funciona en toda resolución de ecuaciones: una igualdad se mantiene siempre que hagamos lo mismo exactamente en los dos lados de la igualdad. Esto es importante sobre todo si no olvidáis que el producto de matrices en general no cumple la propiedad conmutativa. Por lo tanto, si una matriz está en un determinado lugar respecto a otra, cuando saquéis factor común, siempre tiene que estar situada en esa misma posición relativa con respecto a la otra, y si multiplicáis en una posición en un lado de la igualdad, tenéis que multiplicar en el otro lado en esa misma posición relativa. En este problema, además de la solución os doy el cálculo de las matrices inversas intermedias, por si no os salen bien los resultados, que detectéis mejor los errores.
Si alguno de vosotros no entiende bien lo que os intento explicar, tenéis dudas o no os ha salido alguna de mis soluciones, por favor, que lo diga en los comentarios (también me puedo equivocar).
Para los próximos días vamos a seguir con determinantes. Empezad repasando un poco la teoría, que yo os iré recordando lo más importante, e id trabajando los problemas 34, 35 y 37.
viernes, 18 de julio de 2008
EL COMIENZO
Vamos a comenzar poco a poco por los temas más instrumentales de álgebra como son el de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
Empezaremos recordando qué operaciones conocemos de las matrices: la suma, el producto por escalares, la trasposición, el producto de matrices (cuándo se pueden multiplicar matrices), la inversión (cuándo existe la inversa de una matriz),...
Como primera tarea os encomiendo que repaséis todo esto así como las propiedades de cada una de esas operaciones. Además, id haciendo problemas de operaciones con matrices de la relación del curso, sobre todo aquellos que tengáis más dificultades. Os recuerdo que las dudas que os vayan surgiendo, las expreséis en los comentarios, y aunque yo contestaré, os invito a que, si alguno de vosotros cree que puede ayudar a resolverlas, lo hagáis.
Hasta el miércoles próximo no voy a poder hacer más entradas, por lo que, hasta entonces trabajad sobre esto, que ya os iré dando las soluciones.
Empezaremos recordando qué operaciones conocemos de las matrices: la suma, el producto por escalares, la trasposición, el producto de matrices (cuándo se pueden multiplicar matrices), la inversión (cuándo existe la inversa de una matriz),...
Como primera tarea os encomiendo que repaséis todo esto así como las propiedades de cada una de esas operaciones. Además, id haciendo problemas de operaciones con matrices de la relación del curso, sobre todo aquellos que tengáis más dificultades. Os recuerdo que las dudas que os vayan surgiendo, las expreséis en los comentarios, y aunque yo contestaré, os invito a que, si alguno de vosotros cree que puede ayudar a resolverlas, lo hagáis.
Hasta el miércoles próximo no voy a poder hacer más entradas, por lo que, hasta entonces trabajad sobre esto, que ya os iré dando las soluciones.
martes, 15 de julio de 2008
BIENVENIDOS
Lo primero que quiero hacer es daros la bienvenida a este blog que, como ya os avancé, nos va a mantener en contacto para fijarnos a todos un ritmo de trabajo común a lo largo del verano en la asignatura de Matemáticas de Arquitectura .
Como todavía estoy recibiendo respuesta de alguno de vosotros, esta primera entrada va a ser simplemente de prueba (incluso para mí, que no soy ninguna experta en blogs), para ver si unos y otros nos vamos manejando y/o si vosotros tenéis alguna dificultad de conexión.
Para los que no habéis tenido contacto hasta ahora con el mundo de los blogs, observad que, al final de la entrada, hay un enlace que os permite meter comentarios. Ahí es donde se supone que tenéis que ir preguntando las dudas que os vayan surgiendo o introduciendo los comentarios que queráis realizar, y yo os contestaré de la misma forma. Os rogaría que, cuando participéis, os identifiquéis convenientemente, y que, aunque no hayáis comentado nada, naveguéis por los comentarios y respuestas, porque también os pueden servir de ayuda.
Vamos a ir trabajando fundamentalmente la relación de problemas que os proporcionamos durante el curso (por lo que, si alguno de vosotros no dispone de ella, me lo diga), así como problemas de exámenes que os iré proponiendo.
Y por último, os invito a que planteéis todas las dudas que tengáis, que de eso se trata, de solucionarlas.
Como todavía estoy recibiendo respuesta de alguno de vosotros, esta primera entrada va a ser simplemente de prueba (incluso para mí, que no soy ninguna experta en blogs), para ver si unos y otros nos vamos manejando y/o si vosotros tenéis alguna dificultad de conexión.
Para los que no habéis tenido contacto hasta ahora con el mundo de los blogs, observad que, al final de la entrada, hay un enlace que os permite meter comentarios. Ahí es donde se supone que tenéis que ir preguntando las dudas que os vayan surgiendo o introduciendo los comentarios que queráis realizar, y yo os contestaré de la misma forma. Os rogaría que, cuando participéis, os identifiquéis convenientemente, y que, aunque no hayáis comentado nada, naveguéis por los comentarios y respuestas, porque también os pueden servir de ayuda.
Vamos a ir trabajando fundamentalmente la relación de problemas que os proporcionamos durante el curso (por lo que, si alguno de vosotros no dispone de ella, me lo diga), así como problemas de exámenes que os iré proponiendo.
Y por último, os invito a que planteéis todas las dudas que tengáis, que de eso se trata, de solucionarlas.
Suscribirse a:
Comentarios (Atom)
