Álgebra II

Como parece que no os animáis a contestar lo que os propuse ayer, os voy a echar una manita, dándoos unas indicaciones para esos problemas:

En el ejercicio 1 hay que demostrar las cuatro propiedades que dotan a un conjunto, en este caso R2, con una ley de composición interna, la definida en el enunciado del problema, de la estructura de grupo conmutativo: la asociativa, el elemento neutro, el elemento simétrico y la conmutativa.
Escribid la igualdad que hay que hay que demostrar, partid del miembro de la izquierda de la igualdad (salida), operad según las instrucciones del enunciado (las reglas de ese ejercicio), hasta que no se pueda seguir porque sólo quede un elemento del conjunto. Empezad ahora por el miembro de la derecha de la igualdad a demostrar, seguid el mismo proceso y cuando no podáis seguir (otra vez queda un único elemento del conjunto) comparad el resultado con lo obtenido anteriormente. Si término a término sale lo mismo, está demostrado; si hay alguna diferencia en alguno, no se cumple. Así con cada una de las propiedades. (No se cumple ninguna de las 4 propiedades)

El ejercicio 3 es similar, pero cambiando el conjunto (ahora es el conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2) y la definición de ley interna (sólo se cumple la conmutativa).

El ejercicio 2 también es en R2, pero ahora se define una ley de composición externa, y se trata de demostrar las propiedades correspondientes a esta ley: distributiva con respecto a la suma de pares, distributiva con respecto a la suma de escalares, “asociativa”, y neutro (se cumplen las dos primeras).

En el ejercicio 4, el conjunto es el de los números complejos, y se definen dos leyes de composición interna: la suma de complejos (que es otro complejo) y el producto de complejos (que también es otro complejo). Para demostrar que tiene la estructura de cuerpo conmutativo hay que demostrar con cada ley las propiedades de grupo conmutativo (como los ejercicio 1 y 3) y con ambas la distributiva del producto con respecto a la suma (en total 9 propiedades).

En el ejercicio 5 volvemos a trabajar con pares de número reales, R2, la ley interna es la suma habitual de pares y la ley externa es un “producto extraño” (no el habitual) de pares por escalares. Se trata de demostrar las 4 propiedades de grupo conmutativo con la suma (se cumplen todas) y las cuatro de la ley externa con ese producto extraño (sólo se cumple la segunda).

En el ejercicio 17 se trata de ver cuáles de esos conjuntos son subespacios vectoriales. El proceso de la demostración es muy parecido a todo lo anterior. Se puede hacer verificando dos propiedades (que la suma de dos elementos de ese conjunto sigue perteneciendo a ese conjunto, o lo que es lo mismo, satisface las condiciones que caracterizan dicho conjunto y que el producto de un elemento de ese conjunto por un escalar, también pertenece a dicho conjunto) o una que engloba las dos (que cualquier combinación lineal de dos elementos cualesquiera del conjunto a su vez está en el conjunto).

En el ejercicio 23 y los posteriores que piden demostrar linealidad, también se puede hacer con dos propiedades o una que engloba las dos (mirad en la teoría la definición y también tenéis un problema resuelto). Nuevamente el proceso es similar a lo anterior.

Todo lo que vayáis trabajando, id guardándolo para traerlo a las clases presenciales de agosto (los que podáis venir) que lo corregiremos.